Giả sử hàm số y = f(x) ; y = f'(x) liên tục, nhận giá trị dương trên

21/22

Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right);\,y = f'\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1\), \(f\left( x \right) = f'\left( x \right).\sqrt {3x} \), với mọi \(x > 0\). Tính \(f\left( 5 \right)\)? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Giải thích

Ta có :

\[f\left( x \right) = f'\left( x \right).\sqrt {3x} \]

\[ \Rightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {3x} }}\]

\[ \Rightarrow \ln f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\int {\frac{1}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x} \]

\[ \Rightarrow \ln f\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\sqrt x + C\]

\[ \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}\sqrt x + C}}\]

Mà \(f\left( 1 \right) = 1\) nên \[1 = {e^{\frac{2}{{\sqrt 3 }} + C}} \Rightarrow C = - \frac{2}{{\sqrt 3 }}\]

\[ \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}\sqrt x - \frac{2}{{\sqrt 3 }}}}\]

Suy ra \(f\left( 5 \right) = {e^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}\sqrt 5 - \frac{2}{{\sqrt 3 }}}} = {e^{\frac{{2\sqrt 5 - 2}}{{\sqrt 3 }}}} \approx 4,2\).