Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp 2 trên R thỏa mãn

42/50

Giả sử hàm số fx có đạo hàm cấp 2 trên R thỏa mãn f1=f'1=1 và f1−x+x2.f''x=2x với mọi x∈ℝ. Tính tích phân I=∫01xf'xdx.

I=13

I=23

I=1

I=2

Giải thích

Đặt u=f'xdv=xdx⇒du=f''xdxv=x22.
Suy ra I=∫01xf'xdx=x22f'x10−∫01x22f''xdx=12−∫01x22f''xdx.
Do f1−x+x2.f''x=2x⇒x22.f''x=x−12f1−x.
Vậy I=12−∫01x−12f1−xdx=12∫01f1−xdx.
Đặt t=1−x suy ra I=−12∫10ftdt=12∫01ftdt=12∫01fxdx.
Đặt u=fxdv=dx⇒du=f'xdxv=x
Suy ra I=12xfx10−∫01xf'xdx⇔I=121−I⇔I=13.Chọn đáp án A