Giả sử hàm số f ( x ) có đạo hàm đến cấp hai trên R thỏa mãn f ′ ( 2 ) = 2 và f ( 2 − x ) + x^2 f ′′ ( x ) = 2 x với mọi x ∈ R . Giá trị tích phân 2 ∫ 0 x f ′ ( x ) d x bằng (1)

Đáp án

Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm đến cấp hai trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f'\left( 2 \right) = 2\) và \(f\left( {2 - x} \right) + {x^2}f''\left( x \right) = 2x\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Giá trị tích phân \(\int\limits_0^2 {xf'\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng (1) ___4/3____.

Giải thích

Tại \(x = 0\) ta có: \(f\left( {2 - x} \right) + {x^2}f''\left( x \right) = 2x \Rightarrow f\left( 2 \right) = 0\)

Lại có: ∫​02f2−xdx+∫​02x2f''xdx=∫​022x dx=x202=4

Xét I1=∫​02f2−xdx

Đặt \(2 - x = t \Rightarrow {\rm{d}}x =  - {\rm{d}}t\)

Với \(x = 0 \Rightarrow t = 2;x = 2 \Rightarrow t = 0\)

 ⇒I1=−∫​20ftdt=∫​02ftdt=∫​02fxdx

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = f\left( x \right)}\\{{\rm{d}}v = {\rm{d}}x}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{d}}u = f'\left( x \right){\rm{d}}x}\\{v = x}\end{array}} \right.} \right.\)

 ⇒I1=xfx02−∫​02xf'xdx=2f2−∫​02xf'xdx=−∫​02xf'xdx

Xét I2=∫​02x2f''xdx

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {x^2}}\\{{\rm{\;d}}v = f''\left( x \right){\rm{d}}x}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{d}}u = 2x{\rm{\;d}}x}\\{v = f'\left( x \right)}\end{array}} \right.} \right.\)

 ⇒I2=x2f'x02−∫​022xf'xdx=4f'2−2∫​02xf'xdx=8−2∫​02xf'xdx

Vậy .−∫​02xf'xdx+8−2∫​02xf'xdx=4⇒∫​02xf'xdx=43