Giả sử f ( x ) là hàm số liên tục và luôn dương trên [0; 6] thỏa mãn √ f ( x ) f ( 6 − x ) = 1 với mọi x ∈ [ 0 ; 6 ] . Giá trị của I

Đáp án

Giả sử \(f(x)\) là hàm số liên tục và luôn dương trên [0; 6] thỏa mãn \(\sqrt {f(x)f(6 - x)}  = 1\) với mọi \(x \in [0;6]\). Giá trị của \(I = \int\limits_0^6 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{1 + \sqrt {f(x)} }}} \) bằng (1) __ 3 __ .

Giải thích

Đặt \(t = 6 - x \Rightarrow {\rm{d}}t =  - {\rm{d}}x\).

Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 6;x = 6 \Rightarrow t = 0\).

Ta có \(I =  - \int_6^0 {\frac{{{\rm{d}}t}}{{1 + \sqrt {f(4 - t)} }}}  = \int_0^6 {\frac{{{\rm{d}}t}}{{1 + \frac{1}{{\sqrt {f(t)} }}}}}  = \int_0^6 {\frac{{\sqrt {f(x)} {\rm{d}}x}}{{1 + \sqrt {f(x)} }}} \)

\( \Rightarrow I + I = \int_0^6 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{1 + \sqrt {f(x)} }}}  + \int_0^6 {\frac{{\sqrt {f(x)} {\rm{d}}x}}{{1 + \sqrt {f(x)} }}}  = \int_0^6 {\;{\rm{d}}} x = 6 \Rightarrow I = 3\)