Giả sử doanh số của một sản phẩm mới tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số f ( t ) = 5 000 /(1 + 5 e^( − t)) , t ≥ 0 , trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi

19/25

Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày suy luận. Đối với mỗi câu trả lời đúng, thí sinh được 0,25 điểm.

Giả sử doanh số của một sản phẩm mới tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{5\,000}}{{1 + 5{{\rm{e}}^{ - t}}}},\,t \ge 0\), trong đó thời gian \[t\] được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm \[f'\left( t \right)\] sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

Giải thích

Ta có: \(f'\left( t \right) = \frac{{25\,000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\).

Tốc độ bán hàng lớn nhất tức là \(f'\left( t \right)\) lớn nhất.

Xét hàm số \(h\left( t \right) = f'\left( t \right) = \frac{{25\,000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\), \(t \ge 0\).

Ta có \(h'\left( t \right) = 25\,000\frac{{{{\left( {{e^{ - t}}} \right)}^\prime }{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2} - 2\left( {1 + 5{{\rm{e}}^{ - t}}} \right).{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^\prime }.{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}} = - 25\,000\frac{{{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}}\).

\(h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - 5{e^{ - t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - t}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow t = \ln 5\).

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(h\left( t \right)\) với \(t \ge 0\) như sau:

Giả sử doanh số của một sản phẩm mới tu (ảnh 1)

Tốc độ bán hàng \(h\left( t \right)\) lớn nhất khi \(t = \ln 5\).

Vậy sau khi phát hành khoảng \(t = \ln 5\)năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.

Trả lời: ln5.