Giả sử có một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một đoạn AB = 5 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một đoạn là 7 km 

Đáp án đúng là: 10

Giải chi tiết

Đáp số: 10
Trước tiên, ta xây dựng hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số tính thời gian người canh hải đăng phải đi.
Đặt \(BM = x\left( {km} \right)\), điều kiện \(\left( {0 \le x \le 7} \right)\) thì ta được: \(MC = 7 - x,AM = \sqrt {{x^2} + 25} \).
Theo đề bài, Người canh hải đăng có thể chèo đò từ \(A\) đến điểm \(M\) trên bờ biển với vận tốc \(4{\rm{\;km}}/{\rm{h}}\) rồi đi bộ đến \(C\) với vận tốc \(6{\rm{\;km}}/{\rm{h}}\), như vậy ta có hàm số \(f\left( x \right)\) được xác định như sau:
\(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 25} }}{4} + \frac{{7 - x}}{6} = \frac{{3\sqrt {{x^2} + 25} - 2x + 14}}{{12}}\) với \(x \in \left[ {0;7} \right]\)
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) để có được thời gian ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí điểm \(M\).
\(f'\left( x \right) - \frac{1}{{12}}{\rm{\;}}\left( {\frac{{3x}}{{\sqrt {{x^2} + 25} }} - 2} \right)\)\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{3x}}{{\sqrt {{x^2} + 25} }} - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 2\sqrt {{x^2} + 25} = 0\)\( \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} + 25} = 3x\)\( \Leftrightarrow \{ \begin{array}{*{20}{l}}{5{x^2} = 100}\\{x \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \{ \begin{array}{*{20}{l}}{x = \pm 2\sqrt 5 }\\{x \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow x = 2\sqrt 5 \).
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;7} \right]\) và ta có:
\(f\left( 0 \right) = \frac{{29}}{{12}},f\left( {2\sqrt 5 } \right) = \frac{{14 + 5\sqrt 5 }}{{12}},f\left( 7 \right) = \frac{{\sqrt {74} }}{4}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) là \(\frac{{14 + 5\sqrt 5 }}{{12}}\) tại \(x = 2\sqrt 5 \).
Khi đó thời gian đi là ít nhất và điểm \(M\) nằm cách \(B\) một đoạn \(BM = x = 2\sqrt 5 \).

Đáp án cần điền là: 10