Giả sử có khai triển \({(1 - 2x)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_n}{x^n}\). Tìm \({a_4}\)

Trả lời: 80

Ta có:

\({(1 - 2x)^n} = C_n^0{1^n}{( - 2x)^0} + C_n^1{1^{n - 1}}( - 2x) + C_n^2{1^{n - 2}}{( - 2x)^2} + \ldots = 1 - 2C_n^1x + 4C_n^2{x^2} + \ldots \)

Vậy \({a_0} = 1;{a_1} = - 2C_n^1;{a_2} = 4C_n^2\). Theo bài ra \({a_0} + {a_1} + {a_2} = 31\) nên ta có:

\(1 - 2C_n^1 + 4C_n^2 = 31 \Leftrightarrow 1 - 2\frac{{n!}}{{1!(n - 1)!}} + 4\frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} = 31 \Leftrightarrow 1 - 2n + 2n(n - 1) = 31\)

\( \Leftrightarrow 2{n^2} - 4n - 30 = 0 \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 15 = 0 \Rightarrow n = 5\). Từ đó ta có \({a_4} = C_5^4{( - 2)^4} = 80\).