Giả sử chiều cao (tính bằng cm) của một giống cây trồng (trong vòng 1 số tháng nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số:

Đáp án đúng là "1"

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số đạo hàm

Lời giải

\(f(t) = \frac{{200}}{{1 + 4{e^{ - t}}}} \Rightarrow {f^\prime }(t) = 200.\frac{{ - 4{e^{ - t}}( - 1)}}{{\left( {1 + 4{e^{ - t}}} \right)}} = 200.\frac{{4{e^{ - t}}}}{{\left( {1 + 4{e^{ - t}}} \right)}}\)

\({f^{\prime \prime }}(t) = 200\frac{{ - 4{e^{ - t}}{{\left( {1 + 4{e^{ - t}}} \right)}^2} - 2\left( {1 + 4{e^{ - t}}} \right)\left( { - 4{e^{ - t}}} \right).4{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 4{e^{ - t}}} \right)}^4}}}\)

\( = 200\frac{{ - 4{e^{ - t}}\left( {1 + 4{e^{ - t}}} \right)\left( {1 + 4{e^{ - t}} - 8{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 4{e^{ - t}}} \right)}^4}}}\)

\[ = 200\frac{{ - 4{e^{ - t}}\left( {1 + 4{e^{ - t}}} \right)\left( {1 - 4{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 4{e^{ - t}}} \right)}^4}}}\]

\[{f^{\prime \prime }}(t) = 0 \Leftrightarrow {e^{ - t}} = \frac{1}{4} \Rightarrow t =  - \ln \left( {\frac{1}{4}} \right) = \ln 4\]

Bảng biến thiên:

Vậy sau khi hạt nảy mầm khoảng ln4 ≈ 1,38 tháng thì cây có tốc độ tăng chiều cao lớn nhất