Giả sử chi phí trung bình (tính bằng nghìn đồng) để công ty A sản xuất ra một đơn vị sản phẩm được cho bởi công thức C(x) = 9x - 300 + 400/x. Hàm tổng doanh thu đạt

Đề bài cho biết chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là \(C\left( x \right) = 9x - 300 + \frac{{400}}{x}\).

Do đó, tổng chi phí để sản xuất \(x\) sản phẩm là: \({T_c}\left( x \right) = x \cdot C\left( x \right) = x\left( {9x - 300 + \frac{{400}}{x}} \right) = 9{x^2} - 300x + 400\).

Hàm tổng doanh thu: \(R\left( x \right) = 460x + 6,85{x^2}\).

Chi phí thuế phát sinh (\({T_x}\)): Chính phủ đánh thuế \(15\% \) trên một đơn vị sản phẩm bán ra ứng với việc tổng số thuế phải nộp cho \(x\) sản phẩm bằng \(15\% \) tổng doanh thu:

\({T_x}\left( x \right) = 15\% \cdot R\left( x \right) = 0,15 \cdot \left( {460x + 6,85{x^2}} \right) = 69x + 1,0275{x^2}\).

Lợi nhuận ròng thu được sau khi trừ chi phí sản xuất và thuế là:

\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - {T_c}\left( x \right) - {T_x}\left( x \right)\)\( = \left( {460x + 6,85{x^2}} \right) - \left( {9{x^2} - 300x + 400} \right) - \left( {69x + 1,0275{x^2}} \right)\)\( = - 3,1775{x^2} + 691x - 400\quad \left( {x > 0} \right)\).

Hàm số \(P\left( x \right)\) là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới (vì hệ số \(a = - 3,1775 < 0\)). Do đó, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol:

\(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{691}}{{2 \cdot \left( { - 3,1775} \right)}} = \frac{{691}}{{6,355}} \approx 108,73\).

Vì số lượng sản phẩm \(x\) phải là một số nguyên, ta so sánh giá trị lợi nhuận tại hai điểm nguyên gần đỉnh nhất là \(x = 108\) và \(x = 109\):

• Với \(x = 108\): \(P\left( {108} \right) = - 3,1775 \cdot {108^2} + 691 \cdot 108 - 400 = 37171,12\).
• Với \(x = 109\): \(P\left( {109} \right) = - 3,1775 \cdot {109^2} + 691 \cdot 109 - 400 = 37171,4025\).

Ta thấy \(P\left( {109} \right) > P\left( {108} \right)\).

Vậy công ty cần sản xuất và bán 109 sản phẩm để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.

Đáp số: \(109\).