Giả sử chi phí tiền xăng C (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình theo công thức: C(v)=16000/v+5/2v(0<v<120)
22/40
Giả sử chi phí tiền xăng C (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình \(v(\;{\rm{km}}/{\rm{h}})\) theo công thức:
\(C(v) = \frac{{16000}}{v} + \frac{5}{2}v(0 < v \le 120)\)
Để biểu diễn trực quan sự thay đổi của \(C(v)\) theo \(v\), người ta đã vẽ đổ thị hàm số \(C(v)\) như hình bên dưới.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(C(v)\) trên \((0;120]\).
b) Tài xế xe tải lái xe với tốc độ trung bình là bao nhiêu để tiết kiệm tiền xăng nhất?
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số \(C(v)\) :
Tập xác định: \(D = (0;120]\).
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
Đạo hàm \({C^\prime }(v) = - \frac{{16000}}{{{v^2}}} + \frac{5}{2} = \frac{{5(v - 80)(v + 80)}}{{2{v^2}}};{C^\prime }(v) = 0 \Leftrightarrow v = - 80\) (loại) hoặc \(v = 80\).
Trên khoảng \((0;80),{C^\prime }(v) < 0\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
Trên khoảng \((80;120),{C^\prime }(v) > 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(v = 80,{C_{CT}} = C(80) = 400\).
Giới hạn vô cực và tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{v \to {0^ + }} C(v) = \mathop {\lim }\limits_{v \to {0^ + }} \left( {\frac{{16000}}{v} + \frac{5}{2}v} \right) = + \infty \) nên đường thẳng \(v = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu \((80;400)\) và đi qua các điểm \((40;500),(100;410),\left( {120;\frac{{1300}}{3}} \right)\).
b) Quan sát đồ thị hàm số, ta nhận thấy hàm số đạt GTNN khi \(v = 80\) và GTNN là 400 .
Như vậy, để tiết kiệm tiền xăng nhất, tài xế nên chạy xe với tốc độ trung bình là \(80\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\).