Giá nhỏ nhất của biểu thức P = x^2 + 2y^2 − 2 xy + y có dạng − a/b . Tính a + b .

Ta có: \(P = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + y \Leftrightarrow {x^2} + 2{y^2} - 2xy + y - P = 0\) và ta coi đây là một hàm số bậc hai ẩn \(x\).

\( \Rightarrow \) Để tồn tại nghiệm thì \({\rm{\Delta }} = 4{y^2} - 4\left( {2{y^2} + y - P} \right) \ge 0\) có nghiệm.

\( \Leftrightarrow  - 4{y^2} - 4y + 4P \ge 0\) có nghiệm

\( \Leftrightarrow {{\rm{\Delta }}_y} = 16 - 4\left( { - 4} \right)\left( {4P} \right) = 16 + 64P \ge 0\)

\( \Leftrightarrow P \ge  - \frac{1}{4}\). Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là \( - \frac{1}{4}\).

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = 4}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow a + b = 5\).Chọn A.