Giá lắp kính và lát sàn lối đi lần lượt là 600 nghìn đồng/m2  và 280 nghìn đồng/m2. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng chi phí lắp kính và lát sàn cho lối đi này.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Lập hàm số tổng chi phí lắp kính và lát sàn của lối đi theo biến là chiều rộng lối đi. Sau đó, tìm giá trị lớn nhất của hàm số vừa lập.

Lời giải

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{{{V_{ABC.A'B'C'}}}}{h} = \frac{{60}}{{20}} = 3\).

Gọi \(x\left( {\rm{m}} \right)\) là chiều rộng lối đi \((x > 0)\). Chiều cao của tam giác \(ABC\) là \(\frac{6}{x}\).

Chiều rộng mỗi tấm kính là \(AB = \sqrt {{{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{6}{x}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{36}}{{{x^2}}}} = \frac{{\sqrt {{x^4} + 144} }}{{2x}}\).

Diện tích kính cần lắp là \(\frac{{\sqrt {{x^4} + 144} }}{{2x}}.20.2 = \frac{{20\sqrt {{x^4} + 144} }}{x}\).

Diện tích sàn lối đi là \(20x\)

Tổng chi phí lắp kính và lát sàn cho lối đi này là

\(\frac{{20\sqrt {{x^4} + 144} }}{x}.600 + 20x.280 = 12000\frac{{\sqrt {{x^4} + 144} }}{x} + 5600x = 1000.\left( {12\frac{{\sqrt {{x^4} + 144} }}{x} + 5,6x} \right)\)(nghìn đồng).

Xét hàm số \(C\left( x \right) = 12\frac{{\sqrt {{x^4} + 144} }}{x} + 5,6x\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

\(C'\left( x \right) = 12.\frac{{\frac{{2{x^4}}}{{\sqrt {{x^4} + 144} }} - \sqrt {{x^4} + 144} }}{{{x^2}}} + 5,6 = 12.\frac{{{x^4} - 144}}{{{x^2}\sqrt {{x^4} + 144} }} + 5,6\)

\(C'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 12.\frac{{{x^4} - 144}}{{{x^2}\sqrt {{x^4} + 144} }} + 5,6 = 0 \Leftrightarrow x = 3\).

BBT

Dựa vào bảng biến thiên, ta có giá trị nhỏ nhất của \(C\left( x \right) = 12\frac{{\sqrt {{x^4} + 144} }}{x} + 5,6x\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) là 76,8.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của tổng chi lắp kính và lát sàn cho lối đi này là \(76,8.1000 = 76800\) (nghìn đồng), tức là 76,8 triệu đồng.