Gia đình ông An xây một cái chòi hình lục giác, trong đó mái chòi
22/22
Gia đình ông An xây một cái chòi hình lục giác, trong đó mái chòi \(\left( H \right)\) có dạng hình “chóp lục giác cong đều” có trần bằng gỗ như hình vẽ bên. Đáy của \(\left( H \right)\) là một hình lục giác đều có đường chéo chính là \(6m\) Chiều cao \(SO = 6m\) (\(SO\) vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của \(\left( H \right)\) là các sợi dây thép \[{c_1};{c_2};{c_3};{c_4};{c_5};{c_6};{c_7};{c_8}\] nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với \(SO\). Giả sử giao tuyến (nếu có) của \(\left( H \right)\) với mặt phẳng \((\alpha )\) vuông góc với \(SO\) là một lục giác đều và khi \((\alpha )\) khi qua trung điểm của \(SO\) thì bát giác đều có cạnh \(1m\). Tính thể tích phần không gian nằm bên trong mái chòi \(\left( H \right)\) đó.
Đặt tọa độ như hình vẽ, ta có parabol cần tìm đi qua \(3\) điểm có toạn độ lần lượt là \(A\left( {0;6} \right),B\left( {1;3} \right),C\left( {3;0} \right)\) nên có phương trình là \(y = \frac{1}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 6\)
Theo hình vẽ ta có bán kính của bát giác là \(BM\).
Suy ra: \(2y = {x^2} - 7x + 12 \Rightarrow {\left( {x - \frac{7}{2}} \right)^2} = 2y + \frac{1}{4} \Rightarrow |x - \frac{7}{2}| = \sqrt {2y + \frac{1}{4}} \)
Mà \(x \in \left[ {0;3} \right] \Rightarrow \frac{7}{2} - x = \sqrt {2y + \frac{1}{4}} \)
Nếu ta đặt \(t = OM\)thì \(BM = \frac{7}{2} - \sqrt {2t + \frac{1}{4}} \)
Khi đó diện tích của thiết diện thiết diện lục giác:
\[S(t) = 6.\frac{{B{M^2}.\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.{(\frac{7}{2} - \sqrt {2t + \frac{1}{4}} )^2}\] với \(t \in [0;6]\)
Vậy thể tích của mái chòi theo đề bài là:
\[V = \int\limits_0^6 {S(t)dt} = \int\limits_0^6 {\frac{{3\sqrt 3 }}{2}.{{(\frac{7}{2} - \sqrt {2t + \frac{1}{4}} )}^2}dt} = 29,2{m^3}\]