F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2{x^2} - x - 3

101/235

\(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số\[f(x) = \frac{{2{x^2} - x - 3}}{{{x^2} - 3x - 10}}\]trên \((5; + \infty )\), thỏa mãn\[F(6) = 9\ln 2 + 14.\]

Biết rằng\[F(8) = a + \ln b,\quad a,b \in {\mathbb{N}^*}.\]Tính\[S = \frac{b}{a}.\]

125.

250.

500.

1000.

Giải thích

Phương pháp giải:

Đưa \(f(x)\) về tổng các hàm sơ cấp có thể lấy nguyên hàm.

Giải chi tiết:

Ta có:

\[f(x) = \frac{{2{x^2} - x - 3}}{{(x - 5)(x + 2)}} = 2 + \frac{2}{{x - 5}} + \frac{3}{{x + 2}}.\]

Suy ra một nguyên hàm của \(f(x)\) là:

\[F(x) = 2x + 2\ln (x - 5) + 3\ln (x + 2) + C.\]

Dùng điều kiện \(F(6) = 9\ln 2 + 14\):

\[12 + 2\ln 1 + 3\ln 8 + C = 9\ln 2 + 14 \Rightarrow C = 2.\]

Do đó:

\[F(x) = 2x + 2\ln (x - 5) + 3\ln (x + 2) + 2.\]

Tính:

\[F(8) = 16 + 2\ln 3 + 3\ln 10 + 2 = 18 + \ln ({3^2} \cdot {10^3}) = 18 + \ln 9000.\]

Suy ra:

\[a = 18,\quad b = 9000.\]

Vậy:

\[S = \frac{b}{a} = \frac{{9000}}{{18}} = 500.\]