∫ f ( x ) d x = x − ln | x | + C với C là hằng số.
16/22
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 1 + \frac{1}{x}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và hàm số \(g\left( x \right) = - \frac{1}{4}x + \frac{9}{4}\) có đồ thị \(\left( d \right)\) (xem hình bên).
a) \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = x - \ln \left| x \right| + C} \) với \(C\) là hằng số.
b) Nếu \(f\left( x \right)\) có một nguyên hàm là hàm số \(F\left( x \right)\) và \(F\left( 1 \right) = 0\) thì \(F\left( 2 \right) = 1 + \ln 2\).
c) Hình phẳng \({H_1}\) (phần gạch chéo) giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), đồ thị \(\left( d \right)\) và các đường \(x = 1,x = 4\) có diện tích là \({S_1} = \frac{{15}}{8} - \ln 4\).
d) Nếu \({S_1},{S_2}\) lần lượt là diện tích hình phẳng \({H_1}\) (phần gạch chéo) và \({H_2}\)(hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và các đường \(x = 1,x = 4\)) thì \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{5}{8}\).
Ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right){\rm{d}}x = x + \ln \left| x \right| + C} } \) với \(C\) là hằng số.
Vì \(f\left( x \right)\) có một nguyên hàm là hàm số \(F\left( x \right)\) nên ta có \(F\left( x \right) = x + \ln \left| x \right| + C\).
Theo giả thiết \(F\left( 1 \right) = 0\), ta có \(1 + C = 0 \Leftrightarrow C = - 1\) nên \(F\left( x \right) = x + \ln \left| x \right| - 1\).
Vậy \(F\left( 2 \right) = 2 + \ln 2 - 1 = \ln 2 + 1\).
Ta có diện tích phần hình phẳng \({H_1}\) là:
\({S_1} = \int\limits_1^4 {\left[ {\left( { - \frac{1}{4}x + \frac{9}{4}} \right) - \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} \right]{\rm{d}}x = } \int\limits_1^4 {\left( { - \frac{1}{4}x - \frac{1}{x} + \frac{5}{4}} \right){\rm{d}}x} \)\( = \left. {\left( { - \frac{1}{4}.\frac{{{x^2}}}{2} - \ln \left| x \right| + \frac{5}{4}x} \right)} \right|_1^4 = \frac{{15}}{8} - \ln 4\).
Ta có diện tích hình phẳng \({H_2}\) là: \[{S_2} = \int\limits_1^4 {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right){\rm{d}}x = \left. {\left( {x + \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^4} \]\( = 3 + \ln 4\).
Khi đó \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\frac{{15}}{8} - \ln 4}}{{3 + \ln 4}}\).
Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.