Em hãy tính xem, gia đình bạn An cần chi tối thiểu bao nhiêu tiền để làm bể cá nói trên (kết quả làm tròn đến hàng nghìn)?

Gọi \[x\] (m) là chiều rộng của đáy bể \[\left( {x > 0} \right).\]

Chiều dài của đáy bể là \[2x\] (m).

Chiều cao của bể là \[h\] (m).

Ta có \[V = 1 = 2x \cdot x \cdot h\] nên \[h = \frac{1}{{2{x^2}}}\] (m).

Diện tích xung quanh của bể là: \[{S_{xq}} = 2 \cdot \left( {2x + x} \right) \cdot \frac{1}{{2{x^2}}} = \frac{3}{x}\] (m²).

Diện tích đáy bể là: \({S_d} = x \cdot 2x = 2{x^2}\) (m²).

Chi phí tiền để làm bể cá là: \[T = \frac{{500}}{2} \cdot \frac{3}{x} + 500 \cdot 2{x^2} = \frac{{750}}{x} + 1\,\,000{x^2}\] (nghìn đồng).

Để chi phí làm bể cá là tối thiểu thì ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của \(T.\)

Ta có \[T = \frac{{750}}{x} + 1\,\,000{x^2} = 1\,\,000{x^2} + \frac{{375}}{x} + \frac{{375}}{x}\]

\[ \ge 3\sqrt[3]{{1\,\,000{x^2} \cdot \frac{{375}}{x} \cdot \frac{{375}}{x}}}\] (BĐT Cauchy)

\[ = 750\sqrt[3]{9}.\]

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[1\,\,000{x^2} = \frac{{375}}{x},\] hay \[x = \frac{{\sqrt[3]{3}}}{2}.\]

Vậy chi phí tối thiểu để làm bể cá là \[750\sqrt[3]{9} \approx 1\,\,560\] nghìn đồng \( = 1\,\,560\,\,000\) đồng, khi chiều rộng của đáy bể là \[\frac{{\sqrt[3]{3}}}{2}\] (m).