Đường tròn phương trình  có tiếp tuyến tại điểm A(4;3) là đường thẳng có phương trình x+2y = 10. Giá trị của q là

Đáp án đúng là "-15"

Phương pháp giải

Giải hệ phương trình

Lời giải

Tâm đường tròn là \(I\left( { - \frac{p}{2}; - 1} \right)\).

Vì đường thẳng \(x + 2y = 10\) là tiếp tuyến của đường tròn nên hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} + px + 2y + q = 0}\\{x + 2y = 10}\end{array}} \right.\) có nghiệm duy nhất, mà \(A\left( {4;3} \right)\) là tiếp điểm nên \(\left( {4;3} \right)\) là nghiệm duy nhất của hệ.

Suy ra \(25 + 4p + 6 + q = 0 \Leftrightarrow 4p + q =  - 31\).

Lại có \(IA = d\left( {I,\left( d \right)} \right)\)

\( \Rightarrow \sqrt {{{\left( { - \frac{p}{2} - 4} \right)}^2} + {{( - 1 - 3)}^2}}  = \frac{{\left| { - \frac{p}{2} - 2 - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{p}{2} + 4} \right)^2} + 16 = \frac{{{{\left( {\frac{p}{2} + 12} \right)}^2}}}{5}\)

\( \Leftrightarrow p =  - 4\)

\( \Rightarrow q =  - 15\).