a) Chứng minh bốn điểm \(A\), \(E\), \(H\), .\(F\). nằm trên cùng một đường tròn.

Media VietJack

Ta có \[\widehat {AEB} = 90^\circ \] (do \(BE\) là đường cao của \(\Delta ABC\)) hay \[\widehat {AEH} = 90^\circ \].

\[\widehat {AFC} = 90^\circ \] (do \(CF\) là đường cao của \(\Delta ABC\)) hay \[\widehat {AFH} = 90^\circ \].

Suy ra bốn điểm \(A,E,H,F\) cùng nằm trên một đường tròn đường kính \(AH\) (đpcm)

b) Chứng minh \(NE\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AH\).

Vì \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AH\) nên \(I\) là tâm đường tròn đường kính \(AH\)suy ra \(IA = IE\)

Vì\(\Delta IAE\) cân tại \(I\) nên \({\widehat A_1} = {\widehat E_1}\) (1)

\[\Delta EBC\] vuông tại \[E\]có \[EN\] là đường trung trrung tuyến ứng với cạnh huyền \[BC\]

Nên \(EN = NC = \frac{{BC}}{2}\,\)

Suy ra \[\Delta ENC\] cân tại \[N\] nên \(\widehat {NCE} = \widehat {{E_4}}\) (2)

Xét \[\Delta AKC\] vuông tại \[K\] có \[\widehat {KCA} + {\widehat A_1} = 90^\circ \] hay \[\widehat {NCE} + {\widehat A_1} = 90^\circ \] (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \({\widehat E_1} + {\widehat E_4} = 90^\circ \)

Lại có \({\widehat E_1} + {\widehat E_4} + \widehat {IEN} = 180^\circ \) (do \(A;\;E;\;C\) thẳng hàng)

Suy ra \(90^\circ + \widehat {IEN} = 180^\circ \) hay \(\widehat {IEN} = 90^\circ \)

Suy ra \(EN \bot EI\) tại \(E\)

Do đó \(NE\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AH\) (đpcm)

c) Chứng minh \(C{I^2} - I{E^2} = CK.CB\).

Áp dụng định lí Pythagore \(\Delta CIK\) vuông tại \(K\), ta có: \(C{I^2} = C{K^2} + I{K^2}\)

Lại có \(IA = IE = IH\) (cùng bán kính đường tròn tâm I)

Suy ra \[C{I^2} - I{E^2} = C{K^2} + I{K^2} - I{E^2}\]

\[C{I^2} - I{E^2} = C{K^2} + (IK + IE)(IK - IE)\]

\[C{I^2} - I{E^2} = C{K^2} + (IK + IE)(IK - IH)\]\[ = C{K^2} + AK\;.\;KH\] \(\left( 4 \right)\)

Ta lại có \[CK.CB = CK(CK + KB)\]\[ = C{K^2} + CK\;.\;KB\] \(\left( 5 \right)\)

Xét \(\Delta KBH\)và \(\Delta KAC\)có

\(\widehat {KBH} = \widehat {KAC}\) (\( = 90^\circ - \widehat {ACB}\)); \[\widehat {BKH} = \widehat {AKC} = 90^\circ \]

Do đó \[\left( {g - g} \right)\]

Nên \(\frac{{KB}}{{KA}} = \frac{{KH}}{{KC}}\) suy ra \(KA\;.\;KH = KB\;.\;KC\) hay \(AK\;.\;KH = CK\;.\;KB\) \(\left( 6 \right)\)

Từ \[\left( 4 \right)\],\(\left( 5 \right)\) và \(\left( 6 \right)\) suy ra \[C{I^2} - I{E^2} = CK\;.\;CB\] (đpcm)

Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn