Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có bán kính bằng R = 4a căn bậc hai 3 chia 3. Gọi I là trung điểm của BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC.

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Đúng.        c) Đúng.      d) Sai.

a) Đúng.

Ta có: \[OA = OB = OC = R = \frac{{4a\sqrt 3 }}{3}\].

Mà \[OA = \frac{2}{3}AI\] (\[O\] là giao điểm của ba đường trung trực, cũng là trung tuyến, đường cao trong tam giác đều).

Suy ra \[AI = 2a\sqrt 3 \].

b) Đúng.

Gọi cạnh của tam giác đều \[ABC\] là \[x\,\,\left( {x > 0} \right)\].

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \[ABI\], ta có:

\[A{I^2} + B{I^2} = A{B^2}\]

\[{\left( {2a\sqrt 3 } \right)^2} + {\frac{x}{4}^2} = {x^2}\]

\[\frac{{3{x^2}}}{4} = 12{a^2}\] suy ra \[x = 4a\].

Vậy độ dài cạnh của tam giác đều \[ABC\] là \[4a\].

c) Đúng.

Đường tròn nội tiếp tam giác đều \[ABC\] có tâm \[O\], bán kính \[OI.\]

Ta có: \[OI = \frac{1}{2}OA = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\].

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều \[ABC\] là \[\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\].

d) Sai.

Diện tích của hình tam giác \[ABC\] là \[\frac{1}{2}AI \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2a\sqrt 3 \cdot 4a = 4{a^2}\sqrt 3 \].