Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều A B C có bán kính bằng R = 4 a √ 3/3 . (a) Tính các cạnh của tam giác A B C theo a . (b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp của A B C theo a .

a) Gọi \[I\] là trung điểm của \[BC\].

Có \[O\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \[ABC\].

Ta có: \[OA = OB = OC = R = \frac{{4a\sqrt 3 }}{3}\].

Mà \[OA = \frac{2}{3}AI\] (\[O\] là giao điểm của ba đường trung trực, cũng là trung tuyến, đường cao trong tam giác đều).

Suy ra \[AI = 2a\sqrt 3 \].

Gọi cạnh của tam giác đều \[ABC\] là \[x{\rm{ dm}}\].

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \[ABI\], ta có:

\[A{I^2} + B{I^2} = A{B^2}\]

\[{\left( {2a\sqrt 3 } \right)^2} + {\frac{x}{4}^2} = {x^2}\]

\[\frac{{3{x^2}}}{4} = 12{a^2}\] suy ra \[x = 4a\].

Vậy độ dài cạnh của tam giác đều \[ABC\] là \[4a\].

b) Ta có:

Đường tròn nội tiếp tam giác đều \[ABC\] có tâm \[O\], bán kính \[OI.\]

Ta có: \[OI = \frac{1}{2}OA = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\].

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều \[ABC\] là \[\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\].