Đường tròn (C):{x^2} + {y^2} - 4x - 2y - 20 = 0\).

a) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2;1} \right)\) và có bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {1^2} - \left( { - 20} \right)} = 5\).

b) Thay tọa độ điểm \(\left( {5;3} \right)\) vào phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) ta thấy không thỏa mãn.

Do đó đường tròn \(\left( C \right)\) không đi qua điểm \(\left( {5;3} \right)\).

c) Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {5; - 3} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( {3; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(3\left( {x - 5} \right) - 4\left( {y + 3} \right) = 0\) hay \(3x - 4y - 27 = 0\).

d) Ta có \(d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 - 35} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 5 = R\).

Vậy đường thẳng \(\left( d \right):3x + 4y - 35 = 0\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\).

Đáp án: a) Sai;      b) Sai;     c) Đúng;     d) Đúng.