Đường tròn ( C ) có tâm I ( 1 ; 1 ) và cắt đường thẳng d : 3 x + 4 y + 8 = 0 tại M , N thỏa mãn M N = 8 có đường kính bằng bao nhiêu?

Vì \(I \in d\) nên \(I\left( {6a + 10;a} \right)\).

Theo đề có \(d\left( {I,{d_1}} \right) = d\left( {I,{d_2}} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {3\left( {6a + 10} \right) + 4a + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left| {4\left( {6a + 10} \right) - 3a - 5} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }}\)\( \Leftrightarrow \left| {22a + 35} \right| = \left| {21a + 35} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}22a + 35 = 21a + 35\\22a + 35 =  - 21a - 35\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a =  - \frac{{70}}{{43}}\end{array} \right.\). Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}I\left( {10;0} \right)\\I\left( {\frac{{10}}{{43}}; - \frac{{70}}{{43}}} \right)\end{array} \right.\).

Vì tâm đường tròn nằm trên trục \(Ox\) nên \(I\left( {10;0} \right)\)

Do đó bán kính của đường tròn \(\left( C \right)\) là \(R = d\left( {I,{d_1}} \right) = \frac{{35}}{5} = 7\).

Trả lời: 7.