Đường thẳng a đi qua M(4; 2 ; -1) song song với mặt phẳng

30/235

Đường thẳng \(a\) đi qua \(M\left( {4\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right)\), song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x - 4y + z - 12 = 0\) và cách \(A\left( { - 2\,;\,\,5\,;\,\,0} \right)\) một khoảng lớn nhất. Khi đó, phương trình đường thẳng \(a\)là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4 - t}\\{y = - 2 + t.}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4 + t}\\{y = - 2 - t.}\\{z = - 1 + t}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 4t}\\{y = 1 - 2t}\\{z = - 1 + t}\end{array}} \right.\).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4 + t}\\{y = - 2 + t.}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\)

Giải thích

Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {6\,;\,\, - 7\,;\,\,1} \right)\), vectơ pháp tuyến của \[\left( \alpha \right)\] là \(\vec n = \left( {3\,;\,\, - 4\,;\,\,1} \right).\)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên a.

\(d\left( {A\,,\,a} \right) = AH \le AM = \sqrt {86} \Rightarrow d\left( {A\,,\,\,a} \right)\) lớn nhất khi \(H \equiv M.\)

Khi đó \(a\) là đường thẳng đi qua \(M\), song song với \[\left( \alpha \right)\] và vuông góc với AM.

Gọi \(\vec u\) là vectơ chỉ phương của \[a\] nên \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\vec u \bot \vec n}\\{\vec u \bot \overrightarrow {AM} }\end{array}\,;\,\,\left[ {\overrightarrow {AM} \,,\,\,\vec n} \right] = \left( { - 3\,;\,\, - 3\,;\,\, - 3} \right) = - 3\left( {1\,;\,\,1\,;\,\,1} \right)} \right..\]

Chọn \(\vec u = \left( {1\,;\,\,1\,;\,\,1} \right).\) Chọn D.