Đường thẳng A B cắt mặt phẳng ( O x z ) tại điểm M , khi đó A M B M bằng

83/120

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 83 đến 84

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { - 2;3;1} \right)\) và \(B\left( {5;6;2} \right)\).

Đường thẳng \(AB\) cắt mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) tại điểm \(M\), khi đó \(\frac{{AM}}{{BM}}\) bằng

\(\frac{2}{7}\).

\(\frac{3}{7}\).

\(\frac{1}{2}\).

\(\frac{1}{3}\).

Giải thích

Đường thẳng \(AB\) cắt mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) tại điểm \(M \Rightarrow M\left( {x;0;z} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {7\,;\,3\,;\,1} \right);\,\overrightarrow {AM} = \left( {x + 2; - 3;z - 1} \right)\) và \(A,B,M\) thẳng hàng.

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB} {\rm{\;}}\,\left( {k \in \mathbb{R}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2 = 7k}\\{ - 3 = 3k}\\{z - 1 = k}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 9}\\{k = - 1}\\{z = 0}\end{array} \Rightarrow M\left( { - 9\,;0\,;0} \right)} \right.} \right.\).

Khi đó, \(\overrightarrow {BM} = \left( { - 14\,; - 6\,; - 2} \right)\,;\,\,\overrightarrow {AM} = \left( { - 7\,; - 3\,; - 1} \right) \Rightarrow BM = 2\sqrt {59} \,;\,\,AM = \sqrt {59} \).

Vậy \(\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{1}{2}\). Chọn C.