Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát điểm A qua điểm G trong đất liền
16/22
Đường dây điện \[110\,{\rm{KV}}\] kéo từ trạm phát (điểm \[A\]) qua điểm G trong đất liền (với AB là bờ) ra Côn Đảo (điểm\[C\]). Biết \[BC = 60\,{\rm{km}}\], \[AB = 100\,{\rm{km}}\], \[\widehat {ABC} = 90^\circ \], như hình vẽ. Mỗi kilomet dây điện dưới nước chi phí là \[5000\,{\rm{USD}}\], chi phí cho mỗi kilomet dây điện trên bờ là \[3000\,\,{\rm{USD}}\]. Đặt \[x = AG\].
a) Khi \[x = 20\,{\rm{km}}\] thì đường dây điện nối từ \[C\] về \[G\] dài \[100\,{\rm{km}}\].
b) Khi \[x = 20\,{\rm{km}}\] thì tổng chi phí mắc điện là \[560000\,{\rm{USD}}\].
c) Tổng chi phí mắc điện nhỏ nhất khi \[x = 50\,{\rm{km}}\].
d) Tổng chi phí mắc điện nhỏ nhất là \[540000\,{\rm{USD}}\].
a) Đúng. Có \[AG = x \Rightarrow BG = 100 - x\] với \[0 \le x \le 100\].
Xét tam giác \[CBG\] vuông tại \[B\] có \[CG = \sqrt {C{B^2} + B{G^2}} = \sqrt {3600 + {{\left( {100 - x} \right)}^2}} \].
Khi \[x = 20\,{\rm{km}} \Rightarrow CG = 100\,{\rm{km}}\].
b) Đúng. Chi phí tiền mắc điện là \[f\left( x \right) = 3000x + 5000 \cdot \sqrt {3600 + {{\left( {100 - x} \right)}^2}} \]
Khi \[x = 20\,{\rm{km}} \Rightarrow CG = 100\,{\rm{km}}\] và tổng chi phí mắc điện là \[T = f\left( {20} \right) = 560000\,{\rm{USD}}\].
c) Sai. Để chi phí mắc điện ít nhất thì \[f\left( x \right)\] đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có \[f'\left( x \right) = 3000 - 5000\frac{{\left( {100 - x} \right)}}{{\sqrt {3600 + {{\left( {100 - x} \right)}^2}} }}\].
\[ \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3000 = 5000\frac{{\left( {100 - x} \right)}}{{\sqrt {3600 + {{\left( {100 - x} \right)}^2}} }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 55\\x = 145\,\,{\rm{(loai)}}\end{array} \right.\].
Ta có \[f\left( 0 \right) = 583\,095,1895\,\,{\rm{USD; }}f\left( {55} \right) = 540\,000\,\,{\rm{USD;}}\,f\left( {100} \right) = 600\,000\,\,{\rm{USD}}\].
Vậy chi phí mắc điện nhỏ nhất khi \[x = 55\,{\rm{km}}\].
d) Đúng. Chi phí mắc điện nhỏ nhất là \[f\left( {55} \right) = 540\,000\,\,{\rm{USD}}\].