Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào sau đây?

7/22

\(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\).

\(y = \frac{{{x^2} + 3x}}{{x - 2}}\).

\(y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}\).

\(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x + 1}}\).

Giải thích

Chọn A

Quan sát đồ thị, ta thấy:

- Đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 1\); tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x + 1\).

- Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ \(y = 2\); không cắt trục hoành.

Kiểm tra các phương án:

A. \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\)

- Tiệm cận đứng: \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\). (Phù hợp)

- Tiệm cận xiên: Thực hiện phép chia đa thức:

\(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}\).
Vậy tiệm cận xiên là \(y = x + 1\). (Phù hợp)

- Giao với trục tung: Cho \(x = 0 \Rightarrow y = \frac{{{0^2} + 2 \cdot (0) + 2}}{{0 + 1}} = 2\). (Phù hợp)

- Giao với trục hoành: Cho \(y = 0 \Rightarrow {x^2} + 2x + 2 = 0\). Phương trình bậc hai này có biệt thức \(\Delta = {2^2} - 4 \cdot (1) \cdot (2) = 4 - 8 = - 4 < 0\), nên vô nghiệm. Đồ thị không cắt trục hoành. (Phù hợp)

Tất cả các đặc điểm của hàm số A đều phù hợp với đồ thị đã cho.