(Đúng hay sai) Điểm M thay đổi thuộc mặt cầu S, giá trị nhỏ nhất của 2MA^2 + 3MB^2 bằng 105 .

56/132

Trong không gian \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left( {2; - 2;4} \right)\], \[B\left( { - 3;3; - 1} \right)\] và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 3\). Khi đó:

d) Điểm \(M\) thay đổi thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\), giá trị nhỏ nhất của \(2M{A^2} + 3M{B^2}\) bằng 105 .

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

d) Gọi \(E\) là điểm thỏa mãn: \[2\overrightarrow {E{\rm{A}}} + 3\overrightarrow {EB} = \overrightarrow 0 \]. Suy ra \(E\left( { - 1;1;1} \right)\).

Xét \(P = 2M{A^2} + 3M{B^2} = 2{\left( {\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {E{\rm{A}}} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {EB} } \right)^2} = 5M{E^2} + 2E{A^2} + 3E{B^2}\).

\(P\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(ME\)đạt giá trị nhỏ nhất.

\(IE = 2\sqrt 3 > R\) suy ra điểm \(E\) nằm ngoài mặt cầu nên \(ME\) nhỏ nhất bằng \(IE - R = 2\sqrt 3 - \sqrt 3 = \sqrt 3 \)

Vậy \(P = 2M{A^2} + 3M{B^2} = 5M{E^2} + 2E{A^2} + 3E{B^2} = 105\). Do đó câu này đúng.