a) Sai.

Với mọi \(x \ge 0\), ta có điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là:

• \(x + 2\sqrt x - 3 \ne 0\) hay \(\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) \ne 0\) suy ra \(\sqrt x + 3 \ne 0\) (luôn đúng) và \(\sqrt x - 1 \ne 0\).

Do đó \(x \ne 1\).

• \(\sqrt x - 1 \ne 0\) suy ra \(x \ne 1\).

• \(\sqrt x + 3 \ne 0\) (luôn đúng với \(x \ge 0\)).

Vậy điều kiện xác định của \(A\) là \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\).

b) Đúng.

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\), ta có:

\(A = \frac{{15\sqrt x - 19}}{{x + 2\sqrt x - 3}} - \frac{{3\sqrt x - 2}}{{1 - \sqrt x }} - \frac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 3}}\)

\( = \frac{{15\sqrt x - 19}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{\left( {3\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {2\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{15\sqrt x - 19 + 3x + 7\sqrt x - 6 - 2x - \sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 21\sqrt x - 22}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 22} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x + 22}}{{\sqrt x + 3}}\)

Vậy \(A = \frac{{\sqrt x + 22}}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\).

c) Đúng.

Ta có: \(A = \frac{{\sqrt x + 22}}{{\sqrt x + 3}} = 1 + \frac{{19}}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\).

Để \(A\) nhận giá trị nguyên thì \(\frac{{19}}{{\sqrt x + 3}}\) nguyên.

Suy ra \(\sqrt x + 3\) là Ư(19).

d) Sai.

Mà Ư(19)\( = \left\{ {1;\,\,19;\,\, - 1;\,\, - 19} \right\}\).

Nhận thấy \(\sqrt x + 3 \ge 3\) với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\).

Suy ra \(\sqrt x + 3\) = 19 hay \(x = 256\) (thỏa mãn).

Vậy \(x = 256\) thì \(A\) nhận giá trị nguyên.

Đưa thừa số vào trong dấu căn của 3 căn 11 ta được