Dòng Hương hiền hòa trong xanh, lững lờ trôi giữa lòng thành phố Huế cổ kính và mộng mơ. Nhìn từ trên cao, hai bờ sông trải dài như hai đường thẳng song song. Cột cờ Phu Văn Lâu sừng sững cao
18/22
Dòng Hương hiền hòa trong xanh, lững lờ trôi giữa lòng thành phố Huế cổ kính và mộng mơ. Nhìn từ trên cao, hai bờ sông trải dài như hai đường thẳng song song. Cột cờ Phu Văn Lâu sừng sững cao \[54,5\] mét như là một chứng tích hào hùng của lịch sử. Biết rằng hai bờ sông cách nhau \[400\] mét và chân cột cờ (hình chiếu vuông góc của đỉnh cột cờ xuống mặt đất) nằm cách mép sông gần nhất một khoảng \[200\] mét. Có hai bạn học sinh đứng ở hai bờ sông, bạn học sinh \[A\] ở cùng bờ với cột cờ nhìn đỉnh cột cờ so với mặt đất một góc \[\alpha \] với tan\[\alpha \] = 0,1 và bạn học sinh \[B\] đứng ở bờ bên kia nhìn đỉnh cột cờ so với mặt đất một góc \[\beta \] với tan\[\beta \] = 0,07. Hỏi hai bạn học sinh cách nhau xa nhất là bao nhiêu mét? (Giả sử rằng mặt đất là bằng phẳng và tầm mắt hai bạn học sinh ngang với mặt đất, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 1080.
Kẻ \(HK\) vuông góc với hai bờ sông tại \(I,K.\) Hai học sinh cách nhau xa nhất khi và chỉ khi \(AB\)
lớn nhất. Khi đó \(A,B\) nằm về 2 phía của \(HK\)và \(AB = \sqrt {A{C^2} + C{B^2}} = \sqrt {{{(AI + IC)}^2} + C{B^2}} \).
Theo đề bài, ta có \(HI = 200{\rm{ (m);}}HK = 200 + 400 = 600{\rm{ (m);}}BC = 400{\rm{ (m)}}{\rm{.}}\)
Các tam giác \(SHA,SHB\) vuông tại \(H,\) ta có:
\(\tan \alpha = \frac{{SH}}{{HA}} \Rightarrow HA = \frac{{SH}}{{\tan \alpha }} = \frac{{54,5}}{{0,1}} = 545{\rm{ (m); tan}}\beta {\rm{ = }}\frac{{SH}}{{HB}} \Rightarrow HB = \frac{{SH}}{{\tan \alpha }} = \frac{{54,5}}{{0,07}} = \frac{{5450}}{7}{\rm{(m)}}\).
Các tam giác \(HIA,HKB\) là tam giác vuông tại \(I,K.\) Ta có:
\(\begin{array}{l}AI = \sqrt {H{A^2} - H{I^2}} = \sqrt {{{545}^2} - {{200}^2}} = 5\sqrt {10281} ;\\CI = BK = \sqrt {H{B^2} - H{K^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{5450}}{7}} \right)}^2} - {{(200 + 400)}^2}} = \frac{{250\sqrt {193} }}{7}\end{array}\)
Thay vào trên ta được:
\(AB = \sqrt {{{\left( {5\sqrt {10281} + \frac{{250\sqrt {193} }}{7}} \right)}^2} + {{400}^2}} \approx 1079,9 \approx 1080.\)