Đối với ngành nuôi trồng thủy sản, việc kiểm soát lượng thuốc tồn dư trong nước là một nhiệm vụ quan trọng nhằm đáp ứng các tiêu chuẩn an toàn về môi trường. Khi nghiên cứu một loại thuốc trị

19/22

Đối với ngành nuôi trồng thủy sản, việc kiểm soát lượng thuốc tồn dư trong nước là một nhiệm vụ quan trọng nhằm đáp ứng các tiêu chuẩn an toàn về môi trường. Khi nghiên cứu một loại thuốc trị bệnh trong nuôi trồng thủy sản, người ta sử dụng thuốc đó một lần và theo dõi nồng độ thuốc tồn dư trong nước kể từ lúc sử dụng thuốc. Kết quả cho thấy nồng độ thuốc \(y(t)\) (đơn vị: \({\rm{mg/l\'i t}}\)) tồn dư trong nước tại thời điểm \(t\) ngày kể từ lúc sử dụng thuốc, thỏa mãn \(y(t) = {e^{g(t)}}\) và \(y'(t) = k \cdot y(t)\) với \(t \ge 0\), trong đó \(k\) là hằng số khác không. Do nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại các thời điểm \(t = 6\) ngày, \(t = 12\) ngày nhận được kết quả lần lượt là \(2{\rm{ mg/l\'i t}}\), \(1{\rm{ mg/l\'i t}}\). Nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại thời điểm 30 ngày bằng bao nhiêu \({\rm{mg/l\'i t}}\)? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp số: \(0,33{\rm{ mg/l\'i t}}\).

Ta có phương trình mô tả tốc độ thay đổi nồng độ thuốc: \(y'(t) = k \cdot y(t)\)

Biến đổi phương trình để tách biến: \(\frac{{y'(t)}}{{y(t)}} = k\)

Lấy đạo hàm ngược hai vế, ta nhận thấy vế trái chính là đạo hàm của hàm logarit tự nhiên:

\({[\ln (y(t))]^\prime } = k\)

Suy ra phương trình logarit của nồng độ thuốc: \(\ln (y(t)) = kt + C\)

Từ đó, ta có công thức tổng quát của hàm số \(y(t)\): \({e^{\ln (y(t))}} = {e^{kt + C}}\) \( \Rightarrow y(t) = {e^{kt + C}}\)

Theo giả thiết đề bài, ta xét tại các thời điểm cụ thể:

Tại thời điểm \(t = 5\), nồng độ \(y = 3\): \({e^{5k + C}} = 3\)

Tại thời điểm \(t = 10\), nồng độ \(y = 1\): \({e^{10k + C}} = 1\)

Lấy logarit hai vế của hai phương trình trên, ta thu được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(k\) và \(C\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5k + C = \ln 3}\\{10k + C = 0}\end{array}} \right.\)\(\)

Giải hệ phương trình này (lấy dưới trừ trên hoặc thế) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = \frac{{ - \ln 3}}{5}}\\{C = 2\ln 3}\end{array}} \right.\)

Thay \(k\) và \(C\) vừa tìm được vào công thức tổng quát, ta được phương trình cụ thể:

\(y(t) = {e^{ - \frac{{\ln 3}}{5} \cdot t + 2\ln 3}}\)

Tính nồng độ thuốc tồn dư tại thời điểm \(t = 15\) ngày: \(y(15) = {e^{ - \frac{{\ln 3}}{5} \cdot 15 + 2\ln 3}}\)

Rút gọn biểu thức mũ: \(y(15) = {e^{ - 3\ln 3 + 2\ln 3}} = {e^{ - \ln 3}} = \frac{1}{3}\).

Làm tròn kết quả: \(y(15) \approx 0,33\).