Đáp án đúng là "-2"

Phương pháp giải

Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm I và mặt phẳng \(\left( P \right)\) không giao nhau. Gọi \(M,N\) là các điểm di động lần lượt trên \(\left( S \right)\) và \(\left( P \right)\). Khi \(MN\) có giá trị nhỏ nhất, \(N\) là hình chiếu của tâm I trên \(\left( P \right)\) và \(M\) là giao điểm gần \(N\) hơn của đường thẳng \(NI\) và mặt cầu \(\left( S \right)\).

Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 2)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {1;2;2} \right)\) và bán kính \(R = 3\).

Khoảng cách từ \(I\left( {1;2;2} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y + z + 4 = 0\) là \({d_{\left[ {I,\left( P \right)} \right]}} = \frac{{\left| {2.1 + 2.2 + 2 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = 4 > R\) nên \(\left( S \right)\) và \(\left( P \right)\) không giao nhau. Để \(MN\) có giá trị nhỏ nhất, \(N\) phải là hình chiếu của tâm I trên \(\left( P \right)\) và \(M\) là giao điểm gần \(N\) hơn của đường thẳng \(NI\) và mặt cầu \(\left( S \right)\).

Ta có \(N\) là là hình chiếu của tâm I trên (P) nên \(N\left( {\frac{1}{9};\frac{{10}}{9};\frac{{14}}{9}} \right)\).

Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\) là giao điểm gần \(N\) hơn của đường thẳng \(NI\) và mặt cầu (S). Khi đó:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in \left( S \right)}\\{\overrightarrow {IN} = k\overrightarrow {IM} (k > 0)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - 1)}^2} + {{(y - 2)}^2} + {{(z - 2)}^2} = 9}\\{\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 2}}{1}}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - 1)}^2} + {{(y - 2)}^2} + {{(z - 2)}^2} = 9}\\{\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 2}}{1} = t\,\,(t < 0)}\end{array} \Leftrightarrow t = - 1} \right.\).

Do đó, \(M\left( { - 1;0;1} \right) \Rightarrow a = - 1;b = 0;c = 1\).

Vậy \(T = 3a + 2b + c = 3.\left( { - 1} \right) + 2.0 + 1 = - 2\)

Đoạn trích trên nhắc đến thời kì lịch sử nào?