Đồ thị (P) của một hàm số bậc hai y = f(x) đã bị xoá đi, chỉ còn lại trục đối xứng Δ, điểm A thuộc (P) và tiếp tuyến tại A của (P) được cho dưới đây:
79/100
Đồ thị \(\left( P \right)\) của một hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) đã bị xoá đi, chỉ còn lại trục đối xứng \({\rm{\Delta }}\), điểm \(A\) thuộc \(\left( P \right)\) và tiếp tuyến tại \(A\) của \(\left( P \right)\) được cho dưới đây:
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm nào trong các điểm sau?
\(\left( {1; - 1} \right)\).
\(\left( {1;0} \right)\).
\(\left( { - 1;0} \right)\).
\(\left( { - 1;1} \right)\).
Đáp án: A, C
Phương pháp giải:
Đa thức phải tìm có dạng : \(P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)
Lập hệ và giải.
Giải chi tiết:
Đa thức phải tìm có dạng:
\(P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)
Ta có: \(P'\left( x \right) = 2ax + b\).
Vì trục đối xứng \(\left( {\rm{\Delta }} \right)\) có phương trình \(x = 1\) nên: 1\( - \frac{b}{{2a}} = 1\) (1)
Vì đồ thị \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {3;0} \right)\) nên ta có \(P\left( 3 \right) = 0\), tức là: \(9a + 3b + c = 0\left( 2 \right)\).
Vì hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(A\left( {3;0} \right)\) bằng \({\rm{tan}}\frac{\pi }{4}\) nên ta có \(P'\left( 3 \right) = 1\), tức là:
\(6a + b = 1\left( 3 \right)\)
Giải hệ ba phương trình \[\left( 1 \right),{\rm{ }}\left( 2 \right)\] và \[\left( 3 \right)\] với ba ẩn số \(a,b\) và \(c\), ta được:
\(a = \frac{1}{4};b = - \frac{1}{2};c = - \frac{3}{4}\)
Vậy \(P\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^2} - \frac{1}{2}x - \frac{3}{4}\).