Đồ thị ở hình sau là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau?

Đồ thị gồm hai nhánh tách biệt bởi đường tiệm cận đứng \(x = 1\), đồ thị có đường tiệm cận xiên. Loại C (hàm bậc nhất/bậc nhất) và D (hàm bậc ba).

Xét tính chất giao với trục tung \(Oy\) (\(x = 0\)):

Với phương án A: \(y\left( 0 \right) = \frac{{ - {0^2} + 0 - 2}}{{0 - 1}} = 2\).

Với phương án B: \(y\left( 0 \right) = \frac{{ - {0^2} + 2 \cdot 0 - 2}}{{0 - 1}} = 2\).

Xét vị trí điểm cực trị trên hình vẽ: Đồ thị có một điểm cực tiểu tại \(x = 0,y = 2\) và một điểm cực đại tại \(x = 2,y = - 2\).

Thử tính đạo hàm phương án B: \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\).

Ta có \(y' = \frac{{\left( { - 2x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( { - {x^2} + 2x - 2} \right)\left( 1 \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2{x^2} + 4x - 2 + {x^2} - 2x + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0{\rm{;\;}}x = 2\).

Với \(x = 0 \Rightarrow y = 2\) (Điểm cực tiểu vì đồ thị nhánh trái đạt điểm thấp nhất tại đây).

Với \(x = 2 \Rightarrow y = \frac{{ - 4 + 4 - 2}}{{2 - 1}} = - 2\) (Điểm cực đại).

Hoàn toàn trùng khớp với đồ thị đã cho.

Chọn B.