Đồ thị hàm số y = căn bậc hai x^2 + 2x + 2 có bao nhiêu đường tiệm cận xiên?

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Ta có \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 2} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} }}{1} = 1\);

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} - x} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 2} + x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{2}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + 1}} = 1\).

Suy ra y = x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 2} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} }}{1} = - 1\);

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} + x} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 2} - x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{2}{x}}}{{ - \sqrt {1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} - 1}} = - 1\).

Suy ra y = −x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận xiên.