Đồ thị của hàm số f'(x) như hình vẽ sau:
15/22
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + bx + c}}{{x - 2}}\) có đạo hàm f'(x). Đồ thị của hàm số f'(x) như hình vẽ sau:
[NB] Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \(x = 1\) và \(x = 3\).
[NB] Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\).
[TH] Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực đại tại \(x = 1\) và đạt cực tiểu tại \(x = 3\).
[TH] Nếu \(f\left( 0 \right) = 1\) thì \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {3;4} \right]} f\left( x \right) = 6\).
a) Dễ thấy phương trình \(f'\left( x \right) = 0\)vcó hai nghiệm \(x = 1\) và \(x = 3\).
b) Do \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\) nên hàm số không thể nghịch biến trên \(\left( {1;3} \right)\).
c) Từ đồ thị của hàm số \(f'\left( x \right)\), có BBT của hàm số \(f\left( x \right)\) như sau:
Do đó, hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực đại tại \(x = 1\) và đạt cực tiểu tại \(x = 3\).
d) Có \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4x - \left( {2b + c} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) và \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 1\\f'\left( 1 \right) = f'\left( 3 \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - 2\\2b + c = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - 2\\b = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Khi đó \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - \frac{1}{2}x - 2}}{{x - 2}}\) và dễ thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {3;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) = 6\).