Độ dài đoạn thẳng S H là:

Chọn hệ trục toạ độ\[Ixyz\], với \(I\) là gốc toạ độ; các điểm \(A,\,C\) lần lượt thuộc các tia \(Ix,\,Iy\); trục \(Iz\) song song với \(SH\) và \(S\) có cao độ dương.

\(CI\)là đường cao củatam giác đều \(ABC\) cạnh bằng \(\sqrt 3 \) suy ra \(CI = \sqrt 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{3}{2}\).

Khi đó ta có \(I\left( {0;0;0} \right)\), \(A\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};0;0} \right)\), \(B\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};0;0} \right)\),

\(C\left( {0;\frac{3}{2};0} \right)\), \(H\left( {0;\frac{3}{4};0} \right)\). Suy ra \(AH = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2} + {0^2}} = \frac{{\sqrt {21} }}{4}\).

Ta có \(AH\) là hình chiếu vuông góc của \(SA\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa \(SA\) và \(AH\) và bằng \(\widehat {SAH} = 45^\circ \).

Do đó, tam giác \(SAH\) vuông cân tại \(H\) nên \(SH = AH = \frac{{\sqrt {21} }}{4}\). Chọn B.