Điều kiện tham số a để hàm số f ( x ) = x^3 − 27 ax có hai điểm cực trị A , B thỏa mãn A , O , B ( O là gốc tọa độ) thẳng hàng là

Giải chi tiết:

Ta có đạo hàm:

                                                \[f'(x) = 3{x^2} - 27a.\]

Giải phương trình \(f'(x) = 0\):

                \[3{x^2} - 27a = 0\; \Leftrightarrow \;{x^2} = 9a.\]

Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình trên phải có hai nghiệm phân biệt,

suy ra:

                                                            \[a > 0.\]

Khi đó:

                                                 \[x = \pm 3\sqrt a .\]

Tọa độ hai điểm cực trị là:

     \[A(3\sqrt a ,{\mkern 1mu} - 54a\sqrt a ),\]\[B( - 3\sqrt a ,{\mkern 1mu} 54a\sqrt a ).\]

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) là:

      \[\frac{{x + 3\sqrt a }}{{3\sqrt a + 3\sqrt a }} = \frac{{y - 54a\sqrt a }}{{ - 54a\sqrt a - 54a\sqrt a }}.\]

Rút gọn được:

      \[\frac{{x + 3\sqrt a }}{{6\sqrt a }} = \frac{{y - 54a\sqrt a }}{{ - 108a\sqrt a }}.\]

Suy ra:

       \[18a(x + 3\sqrt a ) = - y + 54a\sqrt a \; \Leftrightarrow \;18ax + y = 0.\]

Ta thấy đường thẳng \(18ax + y = 0\) luôn đi qua gốc tọa độ \(O\) với mọi \(a > 0\).

Đáp án cần chọn: B.