a) Đúng. Ta thêm và bớt hạng tử \(4{x^2}{y^2}\) để nhóm thành hằng đẳng thức bình phương của một tổng, từ đó thu được biểu thức:

\(N = {x^4} + 4{x^2}{y^2} + 4{y^4} - 4{x^2}{y^2} = {\left( {{x^2} + 2{y^2}} \right)^2} - {\left( {2xy} \right)^2}.\)

b) Đúng. Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương cho kết quả vừa tìm được ở ý a, ta thu được biểu thức tích là

\(N = {\left( {{x^2} + 2{y^2}} \right)^2} - {\left( {2xy} \right)^2} = \left( {{x^2} + 2{y^2} - 2xy} \right)\left( {{x^2} + 2{y^2} + 2xy} \right)\)

\( = \left( {{x^2} - 2xy + 2{y^2}} \right)\left( {{x^2} + 2xy + 2{y^2}} \right).\)

c) Sai. Ta có \({x^2} - 2xy + 2{y^2} = {\left( {x - y} \right)^2} + {y^2} \ge 0\) với mọi số thực \(x\) và \(y.\)

Do đó \({x^2} - 2xy + 2{y^2}\) luôn nhận giá trị không âm (gồm các giá trị dương và bằng 0) với mọi số thực \(x\) và \(y.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = 0.\)

d) Sai. Tương tự ý c, nhân tử thứ hai cũng biến đổi thành \({x^2} + 2xy + 2{y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} + {y^2} \ge 0.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = 0.\)

Khi hai số \(x\) và \(y\) không đồng thời bằng 0 thì \({\left( {x - y} \right)^2} + {y^2} > 0\) và \({\left( {x + y} \right)^2} + {y^2} > 0\).

Vậy khi đó tích của chúng \(N = \left( {{x^2} - 2xy + 2{y^2}} \right)\left( {{x^2} + 2xy + 2{y^2}} \right)\) luôn là một số dương.

Điền vào chỗ trống để được đẳng thức đúng: x^3 + 1 = (x + 1)(...).