Diện tích tam giác BMN bằng

Ta có \(NC = \frac{{DC}}{2} = \frac{a}{2}\);

\(BN = \sqrt {B{C^2} + N{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Gọi O là tâm của hình vuông \(ABCD\).

Khi đó, \(BO = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2};\,MO = \frac{{AO}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).

Do đó, \(BM = \sqrt {M{O^2} + B{O^2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}\).

Từ M, kẻ MP // AD \(\left( {P \in CD} \right)\). Áp dụng định lí Thalès trong tam giác CAD, ta được:

\(\frac{{MP}}{{AD}} = \frac{{CP}}{{CD}} = \frac{{CM}}{{CA}} = \frac{3}{4} \Rightarrow MP = \frac{3}{4}AD = \frac{{3a}}{4}\); \(CP = \frac{3}{4}CD = \frac{{3a}}{4}\).

Lại có \(CN + NP = CP\) nên \(NP = CP - CN = \frac{{3a}}{4} - \frac{a}{2} = \frac{a}{4}\).

Khi đó, \(MN = \sqrt {M{P^2} + N{P^2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}\).

Nhận thấy tam giác BMN vuông cân tại M nên \({S_{BMN}} = \frac{1}{2}BM \cdot MN = \frac{{5{a^2}}}{{16}}\). Chọn D.