Diện tích tam giác ABC.

a) Áp dụng định lí côsin, ta có:

\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)

\[ \Leftrightarrow {a^2} = {8^2} + {5^2} - 2.8.5\cos 120^\circ = 129 \Rightarrow a = \sqrt {129} \].

Áp dụng định lí sin, ta có:

 \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)\( \Rightarrow \frac{{\sqrt {129} }}{{\sin 120^\circ }} = \frac{8}{{\sin B}} = \frac{5}{{\sin C}}\)

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin B = \frac{{8.\sin 120^\circ }}{{\sqrt {129} }}\\\sin C = \frac{{5.\sin 120^\circ }}{{\sqrt {129} }}\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat B \approx 37,59^\circ \\\widehat C \approx 22,41^\circ \end{array} \right.\].

b) Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}.8.5\sin 120^\circ = 10\sqrt 3 \).

c) Theo định lí sin ta có \(R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{\sqrt {129} }}{{2\sin 120^\circ }} = \sqrt {43} \).

Đường cao AH của tam giác bằng \(\frac{{2S}}{a} = \frac{{2.10\sqrt 3 }}{{\sqrt {129} }} = \frac{{20\sqrt {43} }}{{43}}\).