Gọi \(x\), \(y\) là số lít nước cam và táo mà mỗi đội cần pha chế \(\left( {x;y \in \mathbb{N}} \right)\).

Lượng hương liệu dùng để pha chế \(x\)lít nước cam và \(y\) lít nước táo là \[x + 4y\](gam).

Lượng nước dùng để pha chế \(x\)lít nước cam và \(y\) lít nước táo là \[x + y\](lít).

Lượng đường dùng để pha chế \(x\)lít nước cam và \(y\) lít nước táo là \[30x + 10y\](gam).

Theo đề ra ta có hệ bất phương trình:\[\left\{ \begin{array}{l}x + 4y \le 24\\x + y \le 9\\30x + 10y \le 210\\x,y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 4y \le 24\\x + y \le 9\\3x + y \le 21\\x,y \ge 0\end{array} \right.\].

Số điểm thưởng nhận được là \(T(x;y) = 60x + 80y\).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền ngũ giác \(ABCDO\)(kễ cả biên), với \(A\left( {0;\,\,6} \right)\), \(B\left( {4;\,\,5} \right)\), \(C\left( {6;\,\,3} \right)\), \(D\left( {7;\,\,0} \right)\), \(O\left( {0;\,\,0} \right)\).

Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 gam hương liệu, 9 lít nước và 210 gam đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 gam đường, 1 lít nước và 1 gam hương liệu; (ảnh 1)

Tại điểm \(A\left( {0;\,\,6} \right)\), ta có \(T(0;\,\,6) = 60 \cdot 0 + 80 \cdot 6 = 480\).

Tại điểm \(B\left( {4;\,\,5} \right)\), ta có \(T(4;\,5) = 60 \cdot 4 + 80 \cdot 5 = 640\).

Tại điểm \(C\left( {6;\,\,3} \right)\), ta có \(T(6;\,\,3) = 60 \cdot 6 + 80 \cdot 3 = 600\).

Tại điểm \(D\left( {7;\,\,0} \right)\), ta có \(T(7;\,\,0) = 60 \cdot 7 + 80 \cdot 0 = 420\).

Tại điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\), ta có \(T(0;\,\,0) = 60 \cdot 0 + 80 \cdot 0 = 0\).

Do đó \(T\left( {x;y} \right)\) lớn nhất bằng \(640\)khi \(x = 4;y = 5\).

Vậy cần phải pha chế 4 lít nước cam và 5 lít nước táo thì số điểm thưởng cao nhất.

Diện tích S của tam giác ABC có AB = 2 , AC = 7 , ˆ A = 135 ∘ bằng