Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là

Đáp án A.

1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Ta có

 CB⊥AB,CB⊥SA,AB∩SA=A⇒CB⊥SAB⇒CB⊥SB⇒ΔSBC   

vuông tại B.

Lại có  

CD⊥AD,CD⊥SA,AD∩SA=A⇒CD⊥SAD⇒CD⊥SD

 ⇒ΔSDCvuông tại D.

Mặt khác  SA⊥ABCD⇒SA⊥AC⇒ΔSACvuông tại A.

Gọi I là trung điểm của SC. Các tam giác: ΔSAC,ΔSBC,ΔSDC  lần lượt vuông tại các đỉnh A, B và D nên IS=IA=IB=IC=ID=12SC . Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I, bán kính R=12SC

2. Tính diện tích mặt cầu

Ta có SC,ABCD^=SC,AC^=SCA^=60°

Do ΔADC  vuông tại A nên  S?AC=12AD.CD⇔AD=2SΔADCCD=a23a=a3

⇒AC=AD2+CD2=a32+a2=2a

Mà AC=SC.cosSCA^⇒SC=2acos60°=4a

Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là R=SC2=4a2=2a  và diện tích mặt cầu là S=4πR2=4π.2a2=16πa2  (đvdt).