Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x^2 + x - 2 và đường thẳng

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng đã cho là

x2+x−2=m+1x+2⇔x2−mx−4=0 1.

Do phương trình (1) có P = -4 < 0 nên nó luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu. Giả sử hai nghiệm đó là x1,x2x1<x2. Theo định lí Vi-ét ta có:

x1+x2=mx1.x2=−4.

 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y=x2+x−2 và đường thẳng y=m+1x+2 là:

S=∫x1x2x2+x−2−m+1x+2dx=∫x1x2x2−mx−4dx=−∫x1x2x2−mx−4dx=∫x2x1x2−mx−4dx

=13x3−m2x2−4xx1x2=13x13−x23−m2x12−x22−4x1−x2

=16x1−x22x12+x1x2+x22−3mx1+x2−24

=16x1−x22x1+x22−2x1x2−3mx1+x2−24

=16x1−x22m2+8−3m2=24=16x1−x2m2+16.

Suy ra S2=136x2−x12m2+162=136x1+x22−4x1x2m2+162=136m2+163

⇒S2≥136.163=10249⇒S≥323.

 

Dấu “=” xảy ra ⇔m=0

Vậy Smin=323 khi m = 0.

Chọn C.