Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = x\ln x\), trục hoành và đường thẳng \(x = e\) là

7/22

\(\frac{{{e^2} - 1}}{2}\).

\(\frac{{{e^2} + 1}}{2}\).

\(\frac{{{e^2} + 1}}{4}\).

\(\frac{{{e^2} - 1}}{4}\).

Giải thích

Phương trình hoành độ của đường cong \(y = x\ln x\) và trục hoành là

\(x\ln x = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\\ln x = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\).

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = x\ln x\), trục hoành và đường thẳng \(x = e\) là \(S = \int\limits_1^e {\left| {x\ln x} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_1^e {x\ln x{\rm{d}}x} \).

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\{\rm{d}}v = x{\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \frac{1}{x}{\rm{d}}x\\v = \frac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\]. Suy ra \(S = \frac{{{x^2}}}{2}\ln x\left| \begin{array}{l}e\\1\end{array} \right. - \frac{1}{2}\int\limits_1^e {x{\rm{d}}x} = \frac{{{e^2}}}{2} - \frac{{{x^2}}}{4}\left| \begin{array}{l}e\\1\end{array} \right. = \frac{{{e^2} + 1}}{4}\).