Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x^x (căn bậc hai của (x^2) + 1), trục hoành và đường thẳng x = căn bậc hai của 3 bằng
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành:
\[2x\sqrt {{x^2} + 1} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 0 \Leftrightarrow x = 0\\\sqrt {{x^2} + 1} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 0\,\,\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\]
Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
Trên đoạn [0; \(\sqrt 3 \)], hàm số luôn nhận giá trị không âm.
Đặt u = x2 + 1 => du = 2xdx. Đổi cận: x = 0 => u = 1; x = \(\sqrt 3 \) Þ u = 4.
Diện tích hình phẳng cần tính là:
\(S = \int_0^{\sqrt 3 } {2x\sqrt {{x^2} + 1} } dx = \int_1^4 {\sqrt u } du = \int_1^4 {{u^{\frac{1}{2}}}} du = \left. {\left( {\frac{2}{3}{u^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^4 = \frac{2}{3} \cdot {4^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{3} \cdot {1^{\frac{3}{2}}} = \frac{{14}}{3}\).