Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = {x^3} + 11x - 6

8/22

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số\[y = {x^3} + 11x - 6,\]\[y = 6{x^2}\] và hai đường thẳng \[x = 0,{\rm{ }}x = 2\] là

\[\frac{4}{3}\]

\[\frac{5}{2}\]

\[\frac{8}{3}\]

\[\frac{{18}}{{23}}\]

Giải thích

Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm: \[{x^3} + 11x - 6 = 6{x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.\].

Đặt $h(x) = ({x^3} + 11x - 6) - 6{x^2} = {x^3} - 6{x^2} + 11x - 6$.

Bảng xét dấu

$Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = {x^3} + 11x - 6 (ảnh 1)$

Ta có:

\[S = \int\limits_0^2 {\left| {\left( {{x^3} + 11x - 6} \right) - 6{x^2}} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6} \right|{\rm{d}}x} \]

$S = - \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6} \right)dx} $ $ = - \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - 2{x^3} + \frac{{11{x^2}}}{2} - 6x} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - 2{x^3} + \frac{{11{x^2}}}{2} - 6x} \right)} \right|_1^2 = \frac{5}{2}$.

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \[y = {x^3} + 11x - 6,\]\[y = 6{x^2}\] và hai đường thẳng là $S = \frac{5}{2}$.