Điền số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống Trong không gian, cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, M là điểm thay đổi trên SO . Tỉ số SM /OM bằng

71/94

Điền số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống
Trong không gian, cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm O, M là điểm thay đổi trên \(SO\). Tỉ số \(\frac{{SM}}{{OM}}\) bằng __ thì
\(P = M{S^2} + M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}\) nhỏ nhất.

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Phương pháp giải

Gọi I thỏa mãn \(\overrightarrow {SI} = 4\overrightarrow {IO} \). Chèn I và biểu thức P và chứng minh P nhỏ nhất khi M trùng I.

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {SI} = 4\overrightarrow {IO} \).
Suy ra:

\(P = {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IS} )^2} + {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )^2} + {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} )^2} + {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} )^2} + {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {ID} )^2}\)
\( = 5M{I^2} + I{S^2} + I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} + I{D^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IS} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right)\)\( = 5M{I^2} + I{S^2} + I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} + I{D^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IS} + 4\overrightarrow {IO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)\)\( = 5M{I^2} + I{S^2} + I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} + I{D^2}\).
Vậy \({P_{{\rm{min}}}}\) khi \(M \equiv I \Rightarrow \frac{{SM}}{{OM}} = \frac{4}{1} = 4\).

Đáp án cần điền là: 4