Điền số thích hợp vào chỗ trống. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với A ( 1 ; 2 ; 5 ) , B ( 2 ; 4 ; − 3 ) , C ( 3 ; 3 ; 1 ) . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M là điể

84/94

Điền số thích hợp vào chỗ trống.
Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( {1;2;5} \right),B\left( {2;4; - 3} \right),C\left( {3;3;1} \right)\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và \(M\) là điểm thay đổi trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Độ dài \(GM\) ngắn nhất bằng __.

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đáp án đúng là: 1

Phương pháp giải

GM ngắn nhất khi M là hình chiếu của G xuống ( Oxy ).

Giải chi tiết

\(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), suy ra \(G\left( {\frac{{1 + 2 + 3}}{3};\frac{{2 + 4 + 3}}{3};\frac{{5 + \left( { - 3} \right) + 1}}{3}} \right) = \left( {2;3;1} \right)\).
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(G\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), khi đó \(GH\) là khoảng cách từ \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), ta có \(GH = {\rm{d}}\left( {G,\left( {Oxy} \right)} \right) = 1\)
Với \(M\) là điểm thay đổi trên mặt phẳng ( \(Oxy\) ), ta có \(GM \ge GH = 1\).
Do đó \(GM\) ngắn nhất \( \Leftrightarrow M \equiv H\). Vậy độ dài \(GM\) ngắn nhất bằng 1 .
Đáp án: 1

Đáp án cần điền là: 1