Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho A ( 2 ; 0 ; 0 ) , B ( 0 ; 2 ; 0 ) , C ( 0 ; 0 ; 2 ) . Gọi M là điểm trong không gian thỏa mãn: ˆ AMB = ˆ

75/94

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), cho \(A\left( {2;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0;2} \right)\). Gọi \(M\) là điểm trong không gian thỏa mãn: \(\widehat {AMB} = \widehat {BMC} = \mathop {\widehat {CMA}}\limits^{} = {90^ \circ }\) ( \(M\) không trùng với các điểm \(A,B,C\) và gốc \(O\) ). Khi đó giá trị của \({x_M} + 5{y_M} + 9{z_M}\) bằng ___

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đáp án đúng là: 20

Phương pháp giải

Khi M thỏa mãn suy ra \(MA = MB = MC\).

Giải chi tiết

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {{x_M} - 1} \right)}^2} + {{\left( {{y_M} - 1} \right)}^2} + {z_M}^2 = {{(\sqrt 2 )}^2}}\\{{{\left( {{x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_M} - 1} \right)}^2} + {{\left( {{z_M} - 1} \right)}^2} = {{(\sqrt 2 )}^2}}\\{{{\left( {{x_M} - 1} \right)}^2} + {{\left( {{y_M}} \right)}^2} + {{\left( {{z_M} - 1} \right)}^2} = {{(\sqrt 2 )}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x_M^2 + y_M^2 + z_M^2 - 2{x_M} - {y_{{M_M}}} = 0}\\{x = y}\\{y = z.}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Leftrightarrow x = y = z = t \Rightarrow 3{t^2} - 4t = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{4}{3}\left( {TM} \right)}\\{t = 0\left( L \right)}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{4}{3}} \right) \Rightarrow {x_M} + 5{y_M} + 9{z_M} = 20\)Đáp số: 20

Đáp án cần điền là: 20