Điểm M thay đổi trên đường thẳng d. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABM.

Hướng dẫn giải

Dựa vào phương trình đường thẳng d ta có:

x + y – 1 = 0

⇔ y = 1 – x

Do M thuộc đường thẳng d nên toạ độ của điểm M có dạng M(t; 1– t).

Chu vi tam giác ABM là: AB + MA + MB

Mà AB luôn không đổi nên chu vi tam giác ABM nhỏ nhất khi và chỉ khi MA + MB nhỏ nhất.

Lấy A’ đối xứng với A qua đường thẳng d. Khi đó ta có:

MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B

Dấu bằng xảy ra khi M = A’B ∩ d

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên d. Khi đó AH đi qua điểm A(–3;0) và nhận vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1; - 1} \right)\) của đường thẳng d là vectơ pháp tuyến nên phương trình của AH là:

1(x + 3) – 1(y – 0) = 0

⇔ x – y + 3 = 0

Vậy toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y - 1 = 0}\\{x - y + 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 1}\\{x - y = - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\end{array} \right.} \right.\)

Suy ra H(–1; 2). Mặt khác, H là trung điểm của AA’ nên ta có:

x_H = (x_A + x_A’) : 2 ⇔ x_{A’ ­­­­­­}= 2x_H – x_A = 2.(–1) – (–3) = 1

y_H = (y_A + y_A’) : 2 ⇔ y_{A’ ­­­­­­}= 2y_H – y_A = 2.2 – 0 = 4

Do đó, ta có A’(1; 4)

Ta có \[\overrightarrow {A'B} = \left( {0; - 6} \right)\] là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A’B. Do đó A’B là đường thẳng đi qua đểm A’(1; 4) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {1;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến. Phương trình của đường thẳng A’B là:

1(x – 1) + 0(y – 4) = 0

⇔ x – 1 = 0

Vậy toạ độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y - 1 = 0}\\{x - 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + y - 1 = 0\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\)

Do đó ta có M(1; 0).